ありがとうございます。Birth Certificateあります！
どちらのパスポートで入国するかによって違ってくるのは
滞在期間だけだけみたいですね。安心しました。

NZで生まれたなら、Birth Certificateがありますよね？それさえあれば、出入国もですが、国内にいる間は何をするにも全く問題ないでしょう。手元になければオンラインで申請もできますので、入国してからでも発行しておけばいいのではないでしょうか？国内で子供の公的な手続きをする場合は全てBirth Certificateですよ。取得サイトもググれば一発で出てきますよ。

ありがとうございます。日本のパスポートで入国してもNZ国籍保持者であれば
何かあったときニュージーランド人として医療を受けられるのですね。

ただ、日本のパスポートで入国した場合、滞在期間は3か月までとなるというのは盲点でした。

以上をふまえてもう一度よく考えてみようと思います。ありがとうございました。

またこの質問を読み、サイト経由でメールを下さった方にも有益な情報を提供していただき感謝しております。日本パスポートにNZ citizen endorsementという手続きをした上でNZに入国する方法もあるのですね。

皆様ありがとうございました。

滞在資格を持って住んでいる人には遭遇しそうもないシチュエーションですので確信を持って答えることはできませんが、一般的に考えて、お子さんがNZ国籍を持っている以上NZ人としての権利はいつどこにいても当然持っているものと考えて良いと、私は思います。
けれども権利を行使するためにお子さんの国籍を証明する責任はトピ主さんご夫妻にあります。今ある書類だけでは、いざというときに国籍を証明するには不十分であると考えるなら、NZパスポートを取っておく意味はあると思います。

医療に関していえば、お子さんがNZで生まれたのなら NHI No.(National Health Index No.) を取得されてますよね？ABC1234 のような記号と番号の組み合わせです。その番号で、お子さんの情報はすでに医療関係機関のデータベースにも入っていると思います。
クリニックは事前登録制ですので、事前登録をしていない患者は「非登録者」としての料金がかかりますので、１４歳以下のお子さんであっても無料にはならないと思います。その場ですぐ登録できるかどうかはクリニックによって対応が違うのでわかりません。登録にはIDの提示が必要です。心配な症状があるなら、通いそうなクリニックに渡航前に電話で相談しておくのも手だと思います。

あと、当然ですが日本パスポートで入国した場合、入国管理局の立場からの滞在資格はあくまで日本人のビジタービザですので滞在期限は３か月です。