SIM ロックが解除されているのであれば、基本的には使えると思います。
Google で "Access point name settings are not available for this user" で検索するといろいろと対応策がヒットするので、いくつか試してみるといかがでしょうか。

https://www.google.com/search?q=Access+point+name+settings+are+not+available+for+this+user

トピ主さんが買われたのは、この中で国内版Simフリーと言われるものみたいです。注意のところに、「海外使用時は対応バンドを要確認」と書いてあります。Simフリーにも種類があるとは知らなかったのですが、先程検索したら出てきました。
https://www.rakuten.ne.jp/gold/pc-good/page/simfree_type/

こちらに、Spark などの対応バンドが書いてありました。
https://en.wikipedia.org/wiki/Spark_New_Zealand_Mobile

Spark, 2Degrees and Vodafone all operate 4G networks in LTE band 3 and LTE band 28, with band 3 coverage mostly in cities and towns; band 28 available predominantly across rural towns, countryside, highways and coastal areas. Both Spark and Vodafone have licences to provide LTE band 7 services.

まずは対応しているか確かめてみてはどうでしょう。

Rangitotoさん、maggieさん回答ありがとうございます。
結果、残念ながらできませんでした。
対応バンドも対応されておらず、諦めるしかなさそうです。
安易にSimフリーだから大丈夫と思い買ったのが失敗でした。
潔くこっちで買いなおします。