9月に、日本から乗り継ぎでBrisbane経由で帰ってきました。
国際線への乗り継ぎは基本同じです。

①、メルボルンへは1時間ほどしか滞在しないため入国手続きやETASの申請は不要な認識ですがあっておりますでしょうか？
⇒　あっています。メルボルン到着後、Transitの表示に従い、Security　Checkを済ませて、日本行きのフライトのゲートまで進みます。

②、荷物等はこちらで特に対応せずとも東京に届く認識で間違いないでしょうか？
⇒　乗り継ぎ便の航空券を別々に購入していなければ（同じ予約番号ならOKです）ChristchurchでのCheck in 時に乗り継ぎ便の搭乗券も渡され、荷物も最終目的地までいきますので、メルボルンでPick Upはしなくて大丈夫です。

③、その他何か注意点などあればご教示お願いいたします。
⇒　乗り継ぎ時のSecurity Checkは出国時と同じ扱いになりますので、液体物の持ち込みは出来ません。Christchurch出国し、免税店でお酒などを購入しても、没収されます。私は香港乗り継ぎの時に通常のSecurityを通れず、その時に、免税店で購入するのであれば、免税店スタッフに国際線への乗り継ぎがある旨伝えると、領収書と酒類を密閉した袋に入れてくれ、その物品は持ち込める、と言われました。オーストラリアも同様だと思いますので、もし、免税店でお酒や蜂蜜の購入をお考えであれば、購入時に免税店スタッフに訊くか、調べてみた方が良いと思います。