テナンシートリビューナルにご相談されてはいかがでしょうか？
私見ですが、
①ベッド代　支払う必要なし
②日割り不足分　支払い義務あり
③敷金　全額返金
④カビていて使えない部屋がある　家賃割引有り
こんな感じだと思います。ベッドは故意では無いので大家は請求することができません。日割り不足分？は借り手の契約不履行なので義務あり。敷金はそもそも国の機関に預けていますか？その証拠書類はもらっていますか？大家が敷金を預かることは違法です。　現在のレギュレーションでカビって簡単に生えます？断熱材とかエアコンとかちゃんと完備されてますか？されてない物件を賃貸に出すのは違法です。

Tenancy Tribunal、寡聞にして知りませんでした！
客観的な見解を教えてくださって、ありがとうございます。
敷金の証拠書類や契約書はありません。
TradeMeなので、そういうものかと思っていました。
断熱材はどうも入っていないようです。
エアコンは全４室中、居間とハウスメイトの部屋の計２室にしか入っていません。
気候が良い国と聞いていたので、エアコンは気にしないで決めてしまいました。
Tenancy Tribunalに相談し、家主とも話を進めたいと思います。
ありがとうございました。

カビやベッドや部屋、家の写真をたくさん撮っておかれてはいかがですか。領収した敷金も大家が公的機関に収めてなければtenancy tribunal でなくdisputes tribunal と聞きました。

いっきにdisputes tribunalですか。調べて勉強してみます。ありがとうございます！
まずはTradeMeに、記述にない敷金を要求する違法性の高い家主であることを報告し、Tenancy Tribunalに相談済みであること、要求は敷金の返還とベッド代の支払い拒否、それを拒むならdisputes tribunalに持っていく準備があると、家主に伝えることにします。
進展ありましたら、またこちらでご報告します。

断熱材が入っていないのは違法です。数年前（2015〜6年あたり？）に必須になってますから。Tribunalへ申請したら確実に家主が不利になりますので、ぜひ戦ってください。

NZは（悲しいながら）家主が借主よりも権力が強いので、黙っているとつけこまれます。わたしも色々と経験しました。考えるだけで憤りを感じます。頑張って下さい！

進捗ありましたので報告しておきますね！
Tenancy Tribunalに通訳のある電話問い合わせ窓口がありました。通訳の方はたぶん学生さんのボランティアです。フラットには賃貸法が適用されないということで、Citizen Advice BureauとCommunity Lawを教えてもらいました。そこで相談して解決しないようならdisputes tribunalに持っていくと良い、というアドバイスでした。
市民相談局Citizen Advice Bureauとコミュニティ法律センターCommunity Lawは、受付時間がひどく限られているようなので、メール相談の窓口に連絡を取りました。
電話で会話が間違いなくできるくらいの英語力が私にあればもっと話が早いんですが…。

Citizen Advice Bureauに相談しましたら、無料の弁護士を５日後に予約してくれました。いきさつをまとめたプリントと、証拠写真などを携えてお話したら、

・この家主は偽装フラットメイトという違法行為を行っている。
本人は住んでいないのに、フラットメイトとしての規約を利用しているのは違法。家主にはフラットメイトよりも厳しい法律的な縛りがある。

・応募者が英語が話せない人間であることを利用して悪意を持った対応をしている。
英語を話せない人間に対する差別である可能性が高い。

この２点で、家主とtrademeに対してメールを書いていただけることになりました。

家主からは毎日朝晩に侮辱のメールが届き、私たちがソファで寝てることを知った後は寝ている毛布を取り上げるだの、預かってる身分証のコピーをばらまいてやるだの、出ていけ！だの、逃げ出すのか？だのと煩かったんですが、弁護士に任せてから静かになって本当に良かったです。

壊れたベッドに関しては支払わなくて良いそうですし、返金を要求するなら裁判所までいかなければ無理だろうとのことですが、これ以上の支払い要求は拒否できると言ってもらえました。
また、侮辱のメールについてはこれ以上続くようなら警察への相談をおすすめされました。

もう違う場所に住んでいますが、問題が一気に解決しました。
Citizen Advice Bureau（市民相談局）、おすすめです。

酷い家主でしたね・・・日割り不足分は支払ったのですよね？
それから敷金は戻って来なかったのでしょうか？

弁護士の見解としては
・雨漏り、カビの生えていた部屋は使えないので、契約は無効となり、遡って家賃支払い義務はない。
・ベッドが壊れた日以降から部屋は使えなかった。こちらも壊れた日以降の支払い義務はない。
・フラットメイトではなく家主なので、ベッドが経年劣化で壊れたなら物損の支払い義務はない。
・インターネットや水道光熱費の一般的な請求額は週50〜80ドルとして計算し支払う。
ということでした。

つまり、私が支払うべき金額は
・入居日からベッドが壊れるまでの部屋代
・ネットや水道光熱費を居住期間の分
のみになりました。

入居にあたって家賃2週間分と保証金を支払っていたので、家主はそこから過剰に受け取っていた額を返金しなさい、という結論で、家主の主張する日割り不足分は請求に正当性がないということになりました。
そもそも途中から、追い出されたも同然でホテル暮らしになりましたしね！
今回のメールで支払い義務は家主にあると主張していますが、法的な強制力はないようなので、まず返金は期待できなさそうです。
どうしても返金を求めるなら簡易裁判でしょうね。

そして、フラットメイトと家主では適用される法律がかなり違うようです。
偽装フラットメイトの家主は相当数いるようで、知人のNZ人も揉めたと言っていました。
法的根拠を明確にして、こうして証言してもらえるのはありがたいことです。（しかも無料で！）この国が移民で成り立った国だというのを実感しますね。日本だと言葉の話せない外国人は弁護士までなかなか繋がりませんし、繋がっても相談までは無料ですが、文章作成や交渉は別料金ですから。

この5月、ソファで寝起きする生活や脅迫メールが連日届くのは精神的に大変でしたが、良い勉強になりました。

こういうことが起こることもある、こういう対応が出来る等々、今後の参考になりました、（自分以外他の在住日本人にも）ので貴重なトピでした。

トピ主さん、有益な情報をありがとうございました。興味深く拝読しました。ニュージーランドに住むにあたって、とても参考になります。感謝です。