私の知り合いのアメリカ人の方もIT関係の仕事でパソコンひとつでこちらで仕事をこなしています。こちらにいる時は観光ビザで滞在しており，ニュージーランド国での収入は無いので給料を支給しているアメリカ国に税金を収めています。ですのでこの国で収入が無ければニュージーランド国に税金を収める義務は無いはずです。

日本から住民票を抜く、抜かないは、NZでの納税義務とは関係ないです。
まずは、NZのtax residentになるかどうか、調べる必要があります。

以下の表の8ページにチャートがあるので、それで簡易的に調べることが可能です。

https://www.taxtechnical.ird.govt.nz/-/media/project/ir/tt/pdfs/interpretation-statements/is-1603.pdf?modified=20200316215945&modified=20200316215945

通常、NZに183日以上いる予定なら、tax residentになる確率は高いと思います。
tax residentなら、worldwide income に対して課税されます。
https://www.ird.govt.nz/income-tax/income-tax-for-individuals/types-of-individual-income/overseas-income

Yuyaさんの状況なら、確定申告の際に、日本で払った分の税金分を記入すると良いのではと思います。二重課税の処置として、払う分の税金からその分が引かれると思います。（If you've paid tax to another jurisdiction on your overseas income, you might be able to claim a credit in your individual tax return). ⇒　記入して、NZ税務署側に異議がなければ、承認されます。

ただ、様々な個人の状況によって、変わってくるケースもあるので、NZの税務署に聞いてみるのがベストだと思います。
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*下記のPDFで84ページにも渡り、tax resident　に関して説明しているので、読めば、税務署に聞かなくても分かるとは思います。

https://www.taxtechnical.ird.govt.nz/-/media/project/ir/tt/pdfs/interpretation-statements/is-1603.pdf?modified=20200316215945&modified=20200316215945

ozzy さん
SNOW さん
BE さん（フリーランスの方からも直接メールをいただきました）

ご連絡いただきありがとうございます！！
今回、教えていただいたことをまとめてみました。

・滞在日数が183日を超える場合はtax residentになる可能性が高い
・二国間租税条約によりどちらかの国で納税していればOK
・日本で所得税を納税している場合は会社から証明書を発行してもらい
　確定申告の際に提出する（遅くとも7月7日まで）
・個人の状況によるのでIRDや公認会計士に確認するのが無難

大変助かりました・・・！まずは自分でちょっと手続きしてみて、
不安が残るようであれば専門家に相談してみようと思います。

お忙しいところありがとうございました！
また何かあれば相談させてください～～！