companionship elderly volunteer 等のキーワードと希望する地域名を入れて、英語で検索してみると何か出てくるのではないでしょうか。

または、こういうのを見てみるのはどうでしょう。
https://www.volunteeringnz.org.nz/finding-volunteer-roles/volunteer-opportunity-sites/

Volunteering Auckland
https://volunteeringauckland.org.nz/individuals

下の団体は、ボランティア募集を随時しているかと思います。
https://www.ageconcern.org.nz/Public/Public/get-involved/Volunteer/Volunteering_Opportunities.aspx?hkey=57d43d5e-f32b-41a9-b255-123f50add6ca

https://www.cmans.org.nz/volunteers/

https://www.knox.co.nz/volunteering
ずいぶん前のことですが、Volunteering Auckland の紹介で、ここで週一回ボランティアを１年ぐらいしていました。morning tea やランチで入居者を手伝ったり、入居者と一緒にアクティビティ（ゲーム、エクササイズ、散歩など）をしたのですが、楽しかったです。